sábado, 6 de noviembre de 2010
optimizacion # 2
Un sector circular tiene un perímetro de 10 m. Calcular El radio y la amplitud del sector de mayor área
optimizacion # 1
Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
inflexion
Un punto se llama de inflexión si en él la función cambia el sentido de la concavidad, por tanto en los puntos de inflexión la segunda derivada tiene que cambiar de signo y por tanto en él la segunda derivada tiene que ser cero.
Para determinar los puntos de inflexión hay dos métodos:
A) Se determinan los intervalos de concavidad, si en uno de esos intervalos la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo y en el siguiente cambia el sentido de la concavidad, siendo el extremo del intervalo un punto del dominio de definición en el que la función es continua, tendremos un punto de inflexión.
Si nos fijamos en el ejemplo que aparece en la determinación de los intervalos de concavidad se tiene que en (a,f(a)) y en (d,f(d)) hay puntos de inflexión.
Teorema 7.-
Sea a un punto del dominio de definición tal que f''(a)=0 y que f'''(a)…0, entonces la función tiene en (a,f(a)) un punto de inflexión.
Dem.
Si f'''(a)<0, tiene que existir un intervalo centrado en a en el que x (a-x ,a+x ) se verifique que f'''(x)<0, por tanto en ese intervalo, aplicando el teorema 2 se tiene que f'' es decreciente. Como f''(a)=0 entonces x (a-x ,a) f''(x)>0 (puesto que x
El caso f'''(a)>0 se demuestra de forma análoga (hacerlo como ejercicio). c.q.d.
Por tanto para determinar si uno de los ceros de la segunda derivada es un punto de inflexión se calcula la tercera derivada y se evalúa en ese punto, si el resultado es distinto de cero se tiene un punto de inflexión. Si el resultado sale cero tenemos que calcular la cuarta derivada, si al evaluar en ese punto el resultado es distinto de cero no es un punto de inflexión (es un máximo o un mínimo) si sale cero tenemos que calcular la siguiente derivada y reiterar el proceso y así sucesivamente.
maximos y minimos
Si f'(a) > 0, la función f(x) es creciente en el punto x = a y si f'(a) < 0, es decreciente en dicho punto. Cuando f'(a) = 0, diremos que la función es estacionaria en el punto x = a.
Una función y = f(x) tiene un máximo (mínimo) relativo en un punto x = a, cuando f(a) es mayor (menor) que los valores de la función para los puntos inmediatamente anteriores y posteriores al considerado
Un pastor dispone de 1000 metros de tela metálica para construir un cerco rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones del cerco a fin de el área encerrada sea máxima.
Perímetro = x + 2y = 1000 x = 1000 – 2y Área = x . y, es decir,
(Función a maximizar )
;
y = 250
Como la segunda derivada es negativa se trata de un máximo.
Las dimensiones serán: 500 metros de largo y 250 de ancho.
viernes, 5 de noviembre de 2010
derivada de una funcion constante,y exponencial
CONSTANTE
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),
(x)= (x-1)² + 1
Derivada:
f '(x) = 2(x-1) + 0= 2x-2 (derivada de una potencia mas una constante)
*f(x)= 1/√x
Esto también puede ser expresado como
f(x)= x^-1/2(cambio de raíz a exp fraccionario y negativo xq lo pasas arriba)
Derivada:
Es una potencia
f '(x) -1/2X^1/2
*f(x)= 1/2(x+1)² -1
Derivada:
f '(x) =1/2(2)(x+1) - 0= x+1 (constante por variable la cual es una potencia y mas otra constante)
EXPONENCIAL
seria F(y) y "x" es constante. "y" racional? en esta se aplica a cualquier "y" real.
si: F(y)=x^y , dond "y" pertenece a los Reales (racional tb, obvio) y x>0, x distinto de 1
F'(y)= x^y. lnx Demostracion:
F'(y)=lim (h>>0) [f(y+h)+f(y)]/h = lim (h>>0) [x^(y+h)-x^y]/h
= lim (h>>0) [x^y.x^h-x^y]/h
=x^y{lim (h>>0)[x^h-1]/h} por definicion lim (h>>0)[x^h-1]/h= lnx
=x^y.lnx
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),
(x)= (x-1)² + 1
Derivada:
f '(x) = 2(x-1) + 0= 2x-2 (derivada de una potencia mas una constante)
*f(x)= 1/√x
Esto también puede ser expresado como
f(x)= x^-1/2(cambio de raíz a exp fraccionario y negativo xq lo pasas arriba)
Derivada:
Es una potencia
f '(x) -1/2X^1/2
*f(x)= 1/2(x+1)² -1
Derivada:
f '(x) =1/2(2)(x+1) - 0= x+1 (constante por variable la cual es una potencia y mas otra constante)
EXPONENCIAL
seria F(y) y "x" es constante. "y" racional? en esta se aplica a cualquier "y" real.
si: F(y)=x^y , dond "y" pertenece a los Reales (racional tb, obvio) y x>0, x distinto de 1
F'(y)= x^y. lnx Demostracion:
F'(y)=lim (h>>0) [f(y+h)+f(y)]/h = lim (h>>0) [x^(y+h)-x^y]/h
= lim (h>>0) [x^y.x^h-x^y]/h
=x^y{lim (h>>0)[x^h-1]/h} por definicion lim (h>>0)[x^h-1]/h= lnx
=x^y.lnx
derivada de un producto,de un cociente,de una raiz,derivacion en cadena y derivacion implicita
En análisis matemático, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto, gobierna la derivación del producto de funciones derivables.
Puede declararse informalmente como "la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda" o matemáticamente:
DERIVADA DE UN PRODUCTO
Derivada de un producto se refiere a la multiplicacion
Tienes la formula (u.v)' = u'.v + v'.u
Ejemplo: (2x)' = (2)'(x)+(x)'(2) = 2
u'.... v.u' - u.v'
-- = --------------
v' ........v^2
2'.... (x)(2)' - (2)(x)'....... _ 2
-- = --------------------- = .. -------
x' ........x^2........................x^2
Recuerda: La derivada de una variable es uno
y la de un numero o constante es 0
DERIVADA DE UN COCIENTE
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.
Sea
Y= u / v (≠ 0)
Según la regla general:
Primer paso
Y+Ùy=u+Ùu / v+Ùv
Segundo paso
Ùy= u+Ùu / v+Ùv – u / v = v Ùu - u Ùv/ v (v+Ùv)
Tercer paso
Ùy / Ùx= (v Ùu/Ùx - uÙv/Ùx) / (v (v+Ù))
Cuarto paso
Dy/dx= (v du/dx - udv/dx) / (vª2)
Por lo tanto d/dx (u/v)= (v du/dx - udv/dx) / (vª2)
DERIVADA DE UNA RAIZ
La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.
DERIVADA EN CADENA
La regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones. Descripción de la regla: En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.
Tomando el ejemplo de la derivada de u^n, se tiene
D u^n = n u^(n-1) D u
O sea que vas derivando de izquierda a derecha y de afuera hacia adentro, por ejemplo
y = ln (cos x)
es como si tuvieras
D ln u, siendo u = cos x
Entonces la derivada es
……..1………….…..- sen x
y´= ─── (- sen x) = ───── = - tan x
..…cos x……….....…cos x
DERIVACION IMPLICITA
Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita.
Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícita de x.
Por ejemplo:
define a y como una función implícita de x. Es claro que por medio de esta ecuación x se define igualmente como función implícita de y.
Uno de los procedimientos para calcular la derivada implícita es derivar la ecuación término a término, considerando y como función de x, y de la ecuación resultante despejar , o lo que es lo mismo despejar y’.
tienes la ecuacion de una circunferencia
x^2+y^2=1
derivemos con respecto a x queda
x^2+y^2=1 d/dx
d(x^2)/dx+d(y^2)/dx=d(1)/dx
la primera parte es derivar un polinomio de 2 grado y queda d(x^2)/dx=2x
la segunda parte es donde debes usar la regla de la cadena (mira que dy/dy=1)
d(y^2)/dx=
d(y^2)/dx*1=
d(y^2)/dx*dy/dy=
d(y^2)/dy*dy/dx
y tienes el producto de dos derivadas d(y^2)/dy=2y y dy/dx queda como esta
la tercera es la mas facil es 0 (derivada de la constante es cero)
asi que te queda la ecuacion
2x+2y*dy/dx=0
y puedes despejar la derivada y te queda
dy/dx=-x/y
ahora para mostrar que el metodo funciona derivaremos la misma ecuacion por y
x^2+y^2=1 d/dy
d(x^2)/dy+d(y^2)/dy=d(1)/dy
d(x^2)/dy+2y=0
usando regla de la cadena en d(x^2)/dy=d(x^2)/dy*dx/dx=d(x^2)/dx*dx/d…
Puede declararse informalmente como "la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda" o matemáticamente:
DERIVADA DE UN PRODUCTO
Derivada de un producto se refiere a la multiplicacion
Tienes la formula (u.v)' = u'.v + v'.u
Ejemplo: (2x)' = (2)'(x)+(x)'(2) = 2
u'.... v.u' - u.v'
-- = --------------
v' ........v^2
2'.... (x)(2)' - (2)(x)'....... _ 2
-- = --------------------- = .. -------
x' ........x^2........................x^2
Recuerda: La derivada de una variable es uno
y la de un numero o constante es 0
DERIVADA DE UN COCIENTE
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.
Sea
Y= u / v (≠ 0)
Según la regla general:
Primer paso
Y+Ùy=u+Ùu / v+Ùv
Segundo paso
Ùy= u+Ùu / v+Ùv – u / v = v Ùu - u Ùv/ v (v+Ùv)
Tercer paso
Ùy / Ùx= (v Ùu/Ùx - uÙv/Ùx) / (v (v+Ù))
Cuarto paso
Dy/dx= (v du/dx - udv/dx) / (vª2)
Por lo tanto d/dx (u/v)= (v du/dx - udv/dx) / (vª2)
DERIVADA DE UNA RAIZ
La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.
DERIVADA EN CADENA
La regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones. Descripción de la regla: En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.
Tomando el ejemplo de la derivada de u^n, se tiene
D u^n = n u^(n-1) D u
O sea que vas derivando de izquierda a derecha y de afuera hacia adentro, por ejemplo
y = ln (cos x)
es como si tuvieras
D ln u, siendo u = cos x
Entonces la derivada es
……..1………….…..- sen x
y´= ─── (- sen x) = ───── = - tan x
..…cos x……….....…cos x
DERIVACION IMPLICITA
Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita.
Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícita de x.
Por ejemplo:
define a y como una función implícita de x. Es claro que por medio de esta ecuación x se define igualmente como función implícita de y.
Uno de los procedimientos para calcular la derivada implícita es derivar la ecuación término a término, considerando y como función de x, y de la ecuación resultante despejar , o lo que es lo mismo despejar y’.
tienes la ecuacion de una circunferencia
x^2+y^2=1
derivemos con respecto a x queda
x^2+y^2=1 d/dx
d(x^2)/dx+d(y^2)/dx=d(1)/dx
la primera parte es derivar un polinomio de 2 grado y queda d(x^2)/dx=2x
la segunda parte es donde debes usar la regla de la cadena (mira que dy/dy=1)
d(y^2)/dx=
d(y^2)/dx*1=
d(y^2)/dx*dy/dy=
d(y^2)/dy*dy/dx
y tienes el producto de dos derivadas d(y^2)/dy=2y y dy/dx queda como esta
la tercera es la mas facil es 0 (derivada de la constante es cero)
asi que te queda la ecuacion
2x+2y*dy/dx=0
y puedes despejar la derivada y te queda
dy/dx=-x/y
ahora para mostrar que el metodo funciona derivaremos la misma ecuacion por y
x^2+y^2=1 d/dy
d(x^2)/dy+d(y^2)/dy=d(1)/dy
d(x^2)/dy+2y=0
usando regla de la cadena en d(x^2)/dy=d(x^2)/dy*dx/dx=d(x^2)/dx*dx/d…
funcion exponencial
La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:
o como el límite de la sucesión:
La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2
o como el límite de la sucesión:
La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2
derivada de una funcion constante
Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),
f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),
f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
criterios de la primera y segunda derivada
Criterio de la primera derivada
Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c. Teorema valor máximo y mínimo
"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."
1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).
3. Si f'(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.
Criterio de la segunda derivada
El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0,f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0,f(c)debe ser un máximo relativo de f.
Teorema
Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c
1.Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2.Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).
Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c,f(c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada
Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c. Teorema valor máximo y mínimo
"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."
1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).
3. Si f'(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.
Criterio de la segunda derivada
El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0,f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0,f(c)debe ser un máximo relativo de f.
Teorema
Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c
1.Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2.Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).
Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c,f(c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada
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