derivada de un producto,de un cociente,de una raiz,derivacion en cadena y derivacion implicita

En análisis matemático, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto, gobierna la derivación del producto de funciones derivables.

Puede declararse informalmente como "la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda" o matemáticamente:

DERIVADA DE UN PRODUCTO
Derivada de un producto se refiere a la multiplicacion
Tienes la formula (u.v)' = u'.v + v'.u
Ejemplo: (2x)' = (2)'(x)+(x)'(2) = 2


u'.... v.u' - u.v'
-- = --------------
v' ........v^2

2'.... (x)(2)' - (2)(x)'....... _ 2
-- = --------------------- = .. -------
x' ........x^2........................x^2

Recuerda: La derivada de una variable es uno
y la de un numero o constante es 0


DERIVADA DE UN COCIENTE

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.
Sea

Y= u / v (≠ 0)
Según la regla general:

Primer paso

Y+Ùy=u+Ùu / v+Ùv

Segundo paso

Ùy= u+Ùu / v+Ùv – u / v = v Ùu - u Ùv/ v (v+Ùv)

Tercer paso

Ùy / Ùx= (v Ùu/Ùx - uÙv/Ùx) / (v (v+Ù))

Cuarto paso

Dy/dx= (v du/dx - udv/dx) / (vª2)

Por lo tanto d/dx (u/v)= (v du/dx - udv/dx) / (vª2)

DERIVADA DE UNA RAIZ

La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.

DERIVADA EN CADENA
La regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones. Descripción de la regla: En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Tomando el ejemplo de la derivada de u^n, se tiene

D u^n = n u^(n-1) D u

O sea que vas derivando de izquierda a derecha y de afuera hacia adentro, por ejemplo

y = ln (cos x)

es como si tuvieras
D ln u, siendo u = cos x

Entonces la derivada es
……..1………….…..- sen x
y´= ─── (- sen x) = ───── = - tan x
..…cos x……….....…cos x

DERIVACION IMPLICITA

Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita.

Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícita de x.

Por ejemplo:
define a y como una función implícita de x. Es claro que por medio de esta ecuación x se define igualmente como función implícita de y.
Uno de los procedimientos para calcular la derivada implícita es derivar la ecuación término a término, considerando y como función de x, y de la ecuación resultante despejar , o lo que es lo mismo despejar y’.
tienes la ecuacion de una circunferencia

x^2+y^2=1

derivemos con respecto a x queda

x^2+y^2=1 d/dx

d(x^2)/dx+d(y^2)/dx=d(1)/dx

la primera parte es derivar un polinomio de 2 grado y queda d(x^2)/dx=2x

la segunda parte es donde debes usar la regla de la cadena (mira que dy/dy=1)

d(y^2)/dx=
d(y^2)/dx*1=
d(y^2)/dx*dy/dy=
d(y^2)/dy*dy/dx

y tienes el producto de dos derivadas d(y^2)/dy=2y y dy/dx queda como esta

la tercera es la mas facil es 0 (derivada de la constante es cero)

asi que te queda la ecuacion

2x+2y*dy/dx=0

y puedes despejar la derivada y te queda

dy/dx=-x/y

ahora para mostrar que el metodo funciona derivaremos la misma ecuacion por y

x^2+y^2=1 d/dy

d(x^2)/dy+d(y^2)/dy=d(1)/dy

d(x^2)/dy+2y=0

usando regla de la cadena en d(x^2)/dy=d(x^2)/dy*dx/dx=d(x^2)/dx*dx/d…